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%   \Fig{figure}{text}  : creates an mbox around 'figure' and
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%                         'Fig. section.figno:'.
%                         Example:
%                         \Fig{\epsfxsize30mm \epsffile{x.eps}}{the x}\\
%   \FigNoEntry{}{}     : same as above, no entry in figures list
%
%   \FigCaption{}       : line with figure caption, setting figure
%                         counter and figures list
%

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AutorInnen:--\=hier\kill
Version: \>\documentversion \\
Datum: \>\documentdate\\
AutorInnen: \>Silke Reimer, Frank Koormann
\end{tabbing}
\vfill

\begin{center}Copyright (c) 2003 Intevation GmbH.\end{center}

Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation;
with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
A copy of the license is included in the section entitled ``GNU
Free Documentation License''.

\tableofcontents


\chapter{Konzept zur Dynamisierung}


\section{Ausgangszustand}

GREAT-ER (Geography-referenced Regional Exposure Assessment
Tool for European Rivers) ist ein Modellsystem zur Berechnung von
Stoffkonzentrationen in Flussnetzwerken.
In der klassischen Variante berechnet GREAT-ER die Konzentrationen
im Fließgleichgewicht. Eine Besonderheit
von GREAT-ER ist, dass auch große Fließgewässernetze räumlich stark
aufgelöst simuliert werden. Dazu wird das gesamte Netzwerk in kleine
Flussabschnitte unterteilt\footnote{In der englischen Variante werden die
Flussabschnitte Stretches genannt. Diese Bezeichnung hat sich inzwischen
eingebürgert, wenn von GREAT-ER die Rede ist. Die beiden Begriffe
Flussabschnitt und Stretch werden daher im Folgenden synonym
verwendet.}.
Für jeden Flussabschnitt wird zunächst die Höhe
der Einleitungen aus verschiedenen Quellen (punktuell, flussaufwärts
liegende Flussabschnitte und - in einer für das Elbe-DSS angepassten
Variante - auch diffus) ermittelt. Danach wird die Elimination des Stoffes
während der Fließzeit durch den Abschnitt berechnet. Die am Ende des
Abschnitts noch vorhandene Stoffmasse wird an den nächsten
Flussabschnitt weiter gereicht (s. etwa \citet{matthies:99} oder die
Heimatseite des Projektes http://www.great-er.org für nähere
Informationen).
\\

Mit dem vorhandenen Konzept lassen sich Fragen nach der durchschnittlichen
Belastung im langjährigen Mittel beantworten. Ein Monte-Carlo-Ansatz
ermöglicht das Abbilden einer Variabilität der Ergebnisse. Ziel einer
Dynamisierung von GREAT-ER ist, dass untersucht werden kann, wie Ereignis
bezogene Einträge in ein Fließgewässer durch das Flussnetzwerk
transportiert werden.  Damit kann man u.a. Spitzenbelastungen erkennen, die
sich durch lokale zeitlich begrenzte Zusatzbelastungen ergeben können.
\\

Mit der Annahme von Stationarität für die Modellierung in GREAT-ER  
stellt die 
Weiterleitung der Stoffe von einem Stretch in den nächsten 
kein Transportmodell in dem Sinne dar, dass ermittelt wird,
wie eine Schadstoffwolke den Fluss abwärts wandert. Dies wird
jedoch notwendig, wenn der Verlauf von Konzentrationen auch in der
zeitlichen Entwicklung betrachtet werden soll. In diesem Kapitel soll
untersucht werden, wie ein Transportmodell für den Transport der Schadstoffe
im Fließgewässernetz in GREAT-ER integriert werden kann.
\\

Dabei gelten die folgenden Rahmenbedingungen für die Entwicklung eines 
Konzeptes:
\begin{enumerate}
\item Die Einteilung des Flussnetzwerkes in zahlreiche Flussabschnitte, wie
sie zur Zeit in GREAT-ER vorliegt, bleibt bestehen. Damit wird an der Idee
festgehalten, Konzentrationen im Fließgewässernetz räumlich stark
aufgelöst zu ermitteln.
\item Es soll möglich sein, nicht nur {\em ein} lokales Belastungsereignis zu
modellieren, sondern verschiedene Einzelbelastungen an unterschiedlichen
Orten und zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die Quelle einer
Zusatzbelastungen kann ein punktueller Einleiter (z.B. durch einen Chemieunfall) oder
ein diffuser Eintrag (z.B. durch ein Starkregenereignis) sein.
\item Die Modelle zur Elimination der Schadstoffe im Flussabschnitt sollen
im wesentlichen erhalten bleiben.
\end{enumerate}

\section{Modellierung des Transportprozesses}

\subsection{Advektions-Diffusions-Gleichung}

Ein klassischer Ansatz zur Modellierung des Transports von Stoffen in
Fließgewässern ist die Anwendung der Advektions-Diffusions-Gleichung. Dies
ist eine zweidimensionale partielle Differentialgleichung, die die Höhe des
Stoffflusses in Abhängigkeit von Zeitpunkt und Ort bestimmt. Dabei werden -
wie der Name es nahe legt - die Prozesse Advektion und Diffusion
berücksichtigt. Darüber hinaus ist es möglich den Abbau des Stoffes
einzubeziehen.
\\

Die Advektions-Diffusions-Gleichung wird z.B. als Grundlage für das
Rhein-Alarm-Modell (s. etwa \citet{mazijk:00}) verwendet, das zum Ziel hat, eine zuverlässige
Vorhersage von Fließzeiten und Konzentrationsverläufen von Schadstoffen im
Rhein zu ermöglichen. Das Rhein-Alarm-Modell geht von einer einzigen
Schadstoffquelle aus, die über ein bestimmtes Zeitintervall eine Substanz mit
konstantem Massenfluss in ein Fließgewässer einleitet.
Davon ausgehend werden 
Schadstoff-Ganglinien an vorgegebenen Punkten unterhalb der Einleitung
berechnet. Eliminationsprozesse werden nicht berücksichtigt.
\\

Zwei Rahmenbedingungen führen dazu, dass der Einsatz der
Advektions-Diffusions-Gleichung innerhalb des Rhein-Alarm-Modells anwendbar
ist: 
\begin{enumerate} 
	\item Es wird eine einzige punktuelle, konstante Einleitung
		innerhalb eines festen Zeitintervalls betrachtet. 
	\item Die Ganglinien werden an wenigen ausgewählten Punkten im
	Fließgewässer berechnet.
\end{enumerate}

Unter Bedingung 1 wird die
Advektions-Diffusions-Gleichung analytisch lösbar, d.h. sie muss nicht zur
Simulationslaufzeit numerisch gelöst werden. Damit und mit der Beschränkung
auf wenige Punkte bleibt die Laufzeit des Modells in einem vertretbaren
Rahmen.
\\

Für GREAT-ER müsste dagegen für jeden einzelnen Stretch eine Ganglinie 
berechnet werden, die auch nur mittels der numerischen Lösung der 
Advektions-Diffusions-Gleichung berechnet werden kann. Das
Modellsystem erreicht damit für den geplanten Einsatz nicht mehr sinnvolle
Laufzeiten.

\subsection{Diskretisierung}
\label{subsec:diskretisierung}

Ein weiterer üblicher Ansatz zur dynamischen Modellierung ist die Simulation in
diskreten Zeitschritten der Länge $\Delta t$. Pro Zeitschritt werden für 
alle Objekte (hier Stretches) im Modellsystem Input und Output berechnet:

\begin{eqnarray*}
	t_1 & = & t_0 + \Delta t \\
	\Phi_{out,i}(t_1) & = & f(\Phi_{in,i}(t_0), \Delta t) \\
	\Phi_{in,i}(t_1) & = & \sum\limits_{j} \Phi_{out,j}(t_1)
\end{eqnarray*}

Diese Idealsituation lässt sich jedoch nicht direkt auf GREAT-ER anwenden:

\begin{itemize}
	\item Stretches sind unterschiedlich lang (unterschiedliche
	Durchflusszeiten ($\bar{t}$)) und
	\item die Durchflusszeit variiert mit der Fließgeschwindigkeit 
	(und damit mit dem Abfluss).
\end{itemize}

$\Phi_{out}$ liegt also für einen gegebenen Stretch nicht für einen 
Zeitpunkt $t_1 = t_0 + \Delta t$ vor, sondern für $\bar{t_1} = t_0 + \bar{t}$,
mit $\bar{t}$ variabel über die einzelnen diskreten Schritte.
\\

Der klassische Ansatz der diskreten Zeitschritte kann also nicht aufrecht
erhalten werden, es sind lediglich Sichten auf das System zu gegebenen
Zeitpunkten möglich, an denen dann eine Berechnung der Modellergebnisse 
erfolgt.
Wird an diesen fixen Zeitpunkten der Input in einen Stretch betrachtet, so
sind die Masseflüsse zur Berechnung des Inputs nicht für exakt diesen Zeitpunkt
verfügbar sondern müssen abgeschätzt werden: 
\begin{eqnarray*}
	\Phi_{out}(t_1) & = & g(\Phi_{out},t_1)
\end{eqnarray*}
Für eine Abschätzung $g()$ des Masseflusses zum Zeitpunkt $t_1$ aus der
Zeitreihe der berechneten Masseflüsse $\Phi_{out}$ bieten sich die
Varianten
\begin{itemize}
	\item Auswahl des zeitlich am nächsten gelegenen Wertes oder 
	\item (lineare) Interpolation des Wertes aus den umgebenden Werten an.
\end{itemize}
Die Auswirkungen der beiden Ansätze sollten im Rahmen einer Dynamisierung 
von GREAT-ER realisiert und analysiert werden.
\\

Die Initialisierung der Masseflüsse zum Startzeitpunkt $\Phi_{out}(t_0)$
erfolgt mit den Werten aus der deterministischen Simulation basierend auf
den Anfangswerten aller Parameter, d.h. den Werten zum Zeitpunkt $t_0$.

\section{Schluss}
\label{sec:schluss}
Nachdem eine Modellierung basierend auf der Advektions-Diffusions-Gleichung
nicht die für das Elbe DSS notwendigen Antwortzeiten erwarten lässt, bleibt
eine Dynamisierung über die Diskretisierung von GREAT-ER:

\begin{enumerate}
	\item Die Initialisierung erfolgt mit den Ergebnissen aus der deterministischen
	Simulation.
	\item Die Berechnung erfolgt in der bestehenden post-order Traverse.
	\item Für jeden Stretch wird die gesamte Zeitreihe zu fixen Zeitpunkten 
			berechnet, wobei die Inputdaten abgeschätzt werden 
			müssen.
	\item Die Ergebnisse für einen Stretch müssen mit zeitlichem Bezug 
			gespeichert werden.
	\item Die fixen Zeitpunkte können sich sowohl auf den Beginn
	    \begin{eqnarray*}
		\Phi_{in,i}(t_x) & = & \sum_{j} g(\Phi_{out,j},t_x)\\ 
		\Phi_{out,i}(t_x+\bar{t}) & = & f(\Phi_{in,i}(t_x))
	    \end{eqnarray*}
	    als auch auf das Ende eines Stretches beziehen:
	    \begin{eqnarray*}
		\Phi_{in,i}(t_x-\bar{t}) & = & 
  		    \sum_{j} g(\Phi_{out,j},t_x-\bar{t})\\
		\Phi_{out,i}(t_x) & = & f(\Phi_{in,i}(t_x-\bar{t}))
  	    \end{eqnarray*}
\end{enumerate}

Dieses Konzept bedarf in der Implementierung einiger Optimierung,
um den Speicherbedarf nicht zu groß werden zu lassen: Pro Wertepaar
(Zeitpunkt, Konzentration/Masse) können mit administrativem Overhead 40 Byte
veranschlagt werden. Für das Untersuchungsgebiet des DSS Elbe (ca. 35 000
Stretches) werden damit pro Zeitschritt 1,4 MByte Hauptspeicher benötigt.
Abhängig von Zeitschritt und Zeitraum kann daraus leicht ein Speicherbedarf im
GByte-Bereich resultieren. 


\chapter{Daten}

Um das oben beschriebene Konzept der Dynamisierung auf GREAT-ER anwenden zu
können, werden verschiedene Daten einer zeitlichen Aufteilung analog zu den
gewählten Zeitschritten vorliegen. Diese lassen sich einteilen in:
\begin{itemize}
\item {\bf Stoffeinträge}: Dies können entweder punktuelle Einleiter sein, wie
in der klassischen GREAT-ER Variante oder auch diffuse Einträge, wie sie in
der Variante für das Elbe-DSS zusätzlich integriert sind. Die diffusen
Einträge werden dabei durch die Ergebnisse des Modells Moneris bestimmt.
Die Dynamik der punktuellen Einträge hängt bzgl. der Belastung aus Haushalten
von den zwei Parametern
{\em Bevölkerung}\footnote{ Damit ist die Größe der an eine Kläranlage
angeschlossen Bevölkerung  gemeint.} und {\em Pro-Kopf-Verbrauch} ab. Allerdings
kann die Bevölkerung als konstant in dem betrachteten Simulationszeitraum
angenommen werden und muss daher nicht weiter betrachtet werden. Zu der
Belastung aus den Haushalten kommen zusätzliche {\em Inputs aus
industriellen Einleitern}.\footnote{Das klassische GREAT-ER sieht auch
einen zusätzlichen Input aus Abflüssen vor.  Dieser fällt jedoch weg, wenn
man den diffusen Input über eine Verknüfung mit Moneris direkt einbezieht.}
\item {\bf Hydrologische Parameter}: Insbesondere sind dies der {\em
Durchfluss}, die {\em Fließgeschwindigkeit} und die {\em Flusstiefe}. Aus
dem Verhältnis der von GREAT-ER berechneten Stoffflüsse innerhalb eines
Stretches und den Durchflüssen werden die Konzentrationen berechnet.  Die
Fließgeschwindigkeit und die Flusstiefe werden direkt für die Berechnung
der Elimination eines Stoffes in einem Flussabschnitt benötigt: Die
Fließgeschwindigkeit bestimmt die Verweildauer eines Stoffes in einem
Stretch. Die Flusstiefe wird im Modellmodus 3 benötigt, wenn die Prozesse
für photolytischen Abbau und Volatilisierung detaillierter betrachtet
werden.
\end{itemize}

In diesem Kapitel soll nun die Verfügbarkeit dieser Daten 
in Bezug auf räumliche und zeitliche Auflösung untersucht werden. 
Außerdem werden, wenn nötig, Methoden vorgeschlagen, mit denen 
vorhandene Datenlücken unter Umständen geschlossen werden können.
\\

\section{Räumliche Auflösung}

\subsection{Stoffeinträge}
\label{subsec:stoffeintraege}

In Bezug auf die räumliche Auflösung der Stoffeinträge muss zwischen
punktuellen Einleitern und diffusen Einträgen unterschieden werden.
Die punktuellen Einleiter werden schon bisher als einzelne punktuelle
Quellen erfasst und liegen damit in der maximalen räumlichen Auflösung vor.
Diffuse Einträge liegen bisher nur als Werte pro Teileinzugsgebiet vor. Im
Endbericht zur Phase 1 der Integration von GREAT-ER in das DSS wird ein
Konzept vorgeschlagen, wie diese Werte auf einzelne Stretches übertragen
werden kann (s. \citet{reimer:02}):
\\

\begin{quote}
Diffuse Nährstoffeinträge werden durch das Modell Moneris bestimmt.  Das
Ergebnis sind Jahresgesamteinträge an Nitrat und Phosphor für insgesamt ca.
120 Pegel im Einzugsgebiet der Elbe (s. \citet{behrend:99} für eine
umfassende Beschreibung des Modells).

Die rund 120 Werte müssen auf Flussabschnitte von ca. zwei Kilometern Länge
verteilt werden. Dazu wird vorgeschlagen, die 122 Einzugsgebiete in
Teileinzugsgebiete aufzuteilen. Jede Zelle eines über das Einzugsgebiet
gelegten Rasters wird dem Flussabschnitt zugeordnet, dem sie am nächsten
liegt.  Relativ zum Flächenanteil der Teileinzugsgebiete kann nun der
Gesamtinput des Einzugsgebietes wie folgt auf die Flussabschnitte verteilt
werden: \[I_{stretch} = \frac{A_{stretch}} {A_{EZG}} I_{EZG} \] wobei
$A_{stretch}$ die Fläche aller Zellen, die dem Stretch zugeordnet sind,
darstellt.  $A_{EZG}$ ist die Fläche des Einzugsgebietes, $I_{EZG}$ der
Gesamtinput an diffusen Einträgen aus dem Einzugsgebiet. Mit $I_{stretch}$
liegen nun diffuse Einträge als Masse pro Zeiteinheit für jeden
Flussabschnitt vor. 

Alternativ dazu kann eine Gewichtung der Zuordnung des Gesamtinputs in
einen einzelnen Stretch durch das Verhältnis der Stretch-Länge zur
Gesamtlänge des Flussnetzes innerhalb des Teileinzugsgebietes erfolgen.
Diese zweite Alternative wurde für die prototypische Verknüpfung von
GREAT-ER mit Moneris angewandt.
\end{quote}

Ereignis bezogene diffuse Einträge finden in kleineren Bereichen statt,
als sie durch die Einteilung der Teileinzugsgebiete von Moneris vorgegeben
ist. Daher müssen alle Flussabschnitte, in die solch ein
Eintrag erfolgt, getrennt markiert werden. Damit kann die für
eine Simulierung von lokalen zeitlich begrenzten diffusen Einträgen
notwendige räumliche Auflösung erreicht werden.

\subsection{Hydrologische Parameter}
\label{sec:durchfluss}

Wie bereits erwähnt muss die Verfügbarkeit der drei hydrologischen
Parameter Durchfluss, Fließgeschwindigkeit und Flusstiefe für jeden
Flussabschnitt untersucht werden.
Mangels einer besseren Datengrundlage sind bei bei der Integration von
neuen Flusseinzugsgebieten, u.a. auch der Elbe, oftmals Regressionen
angewandt worden, um Flusstiefe und Fließgeschwindigkeit aus dem Durchfluss
zu bestimmen (siehe etwa \citet{schroeder:02}). Für eine korrekte
Bestimmung der Flusstiefe und der Fließgeschwindigkeit wäre ein
prozessorientiertes hydrologisches Modell des Flusses notwendig, das unter
anderem die Morphologie des Flussbettes berücksichtigt. Solche Modelle
liegen theoretisch vor. Die konkrete Kalibrierung der Modelle für ein
Flusseinzugsgebiet ist allerdings sehr aufwändig oder - angesichts der
benötigten Daten - oftmals unmöglich.  
\\

Innerhalb dieses Dokumentes wird daher auf die Bestimmung von Flusstiefe und
Fließgeschwindigkeit nicht weiter eingegangen.  Es wird lediglich
vorgeschlagen, ein externes hydrologisches Modell zur Bestimmung der
Flusstiefe und Fließgeschwindigkeit zu verwenden, wenn es vorliegt, und
ansonsten auf die von \citet{schroeder:02} genannten Regressionsformeln
zurück zu greifen.  

\paragraph{NA-Modelle}

Grundlage für die Bestimmung der Durchflüsse an vorgegebenen Stellen eines
Flusses sind Niederschlags-Abfluss-Modelle (NA-Modelle). Sie ermitteln aus
Niederschlagsdaten in Kombination mit verschiedenen Informationen über
Bodenbeschaffenheit, Neigung des Geländes etc. den Basis-, Zwischen- und
Oberflächenabfluss eines Teileinzugsgebiets im Fluss\-ein\-zugs\-gebiet.
\\

Prinzipiell gibt es zwei Optionen für eine Kopplung eines dynamischen
GREAT-ER mit einem NA-Modell:

\begin{enumerate}
\item Das NA-Modell liefert einen Abfluss -
und damit den benötigten Durchflusswert - in der notwendigen zeitlichen und
räumlichen 
Auflösung. Möglich ist dies z.B. durch ein
Modell wie LISFLOOD. LISFLOOD berechnet rasterbasiert den Abfluss an vom
Benutzer bestimmten Punkten des Fließgewässernetzes (siehe etwa
\citet{roo:98}). Dies können dann natürlich die jeweiligen Anfangs- oder
Endpunkte eines Stretches sein.  Allerdings benötigt ein solches
rasterbasiertes Modell zum einen recht fein aufgelöste Informationen über
alle benötigen Parameter. Zum anderen ist LISFLOOD zur Zeit nur für wenige
Einzugsgebiete kalibriert. Das Einzugsgebiet der Elbe fällt nicht darunter.

\item Das NA-Modell liefert Abfluss- bzw.  Durchflusswerte zeitlich und
räumlich weniger stark aufgelöst. Dies ist z.B. für das Modell HBV der
Fall. HBV berechnet gemittelt über einige Teileinzugsgebiete den Abfluss am
Gebietsauslass des jeweiligen Teileinzugsgebiets (s. etwa
\citet{bergstroem:95}). Am Ende der Erstellung der Pilotversion des
Elbe-DSS wird HBV für ca. 130 Teileinzugsgebiete kalibriert sein. Für alle
Stretches, die dazwischen liegen müssen die Durchflusswerte anderweitig
bestimmt werden.
\end{enumerate}

Ist ein NA-Modell wie im ersten Fall beschrieben verfügbar, braucht 
man sich um die Durchflüsse nicht weiter zu kümmern. 
Sie liegen dann in der gewünschten räumlichen Genauigkeit vor. 
Im zweiten Fall müssen die Durchflüsse zwischen den vorhandenen Werten
interpoliert bzw. darüber hinaus extrapoliert werden. Wie das geschehen
kann, soll im Folgenden gezeigt werden. Dazu werden zunächst die Methoden
zur Bestimmung der Durchflüsse im klassischen GREAT-ER kurz beschrieben,
da sie Grundlage für einen Vorschlag zur Bestimmung der Durchflüsse für das
dynamische GREAT-ER bilden.


\paragraph{Ansatz zur Bestimmung von Durchflüssen im klassischen GREAT-ER}

Für kleine Flusseinzugsgebiete in England wurde das prozessbasierte NA-Modell
"`MicroLowFlows"' angewandt. Für große Flusseinzugsgebiete ist dieser
Ansatz nicht praktikabel, weil das Modell zum Teil hoch aufgelöste Daten für
das gesamte Einzugsgebiete benötigt. In der Regel sind die Daten nicht in
dieser hohen Auflösung vorhanden oder die Beschaffung mit hohen Kosten
verbunden.
\\

Mit Hilfe eines häufig verwendeten pragmatischen Ansatzes werden daher die
Durchflüsse in Abhängigkeit von der akkumulierten
Länge aller Flussabschnitte bis zum betrachteten Punkt über
folgende nichtlineare Regression ermittelt:

\[
Q_{reg}(SID)  = \alpha Acc(SID)^\beta
\]
\begin{eqnarray*}
	SID &=& \mbox{betrachteter Flussabschnitt (StretchID)}\\
		  Q_{reg} &=& \mbox{Abfluss (ermittelt durch Regression)}\\
		  Acc &=& \mbox{akkumulierte Flusslänge aller den betreffenden
		  Flussabschnitt speisenden Flussläufe}\\
		  \alpha, \beta &=& \mbox{Regressionsparameter}
\end{eqnarray*}


Dieser statistische Ansatz bringt naturgemäß Fehler mit sich.
\citet{schulze:01} 
schlägt in seiner Arbeit daher vor, den Fehler an einem Pegelmesspunkt als
charakteristisch für die umliegenden Flussabschnitte zu betrachten und die
umliegenden Werte entsprechend zu korrigieren. Dazu wird ein lokaler Faktor
aus Messwert und berechnetem Wert als Anpassungsfaktor (LAF = Local Area
Factor) bestimmt. 
\\

Der LAF wird auf die umliegenden Stretches zur Korrektur angewandt.
Für die Korrektur des Durchflusses eines Stretches werden die LAFs
der beiden am nächsten liegenden Pegel berücksichtigt. Dabei wird nach der
Entfernung der beiden Pegel gewichtet, so dass der Pegel, der näher an dem
betrachteten Stretch liegt, stärker berücksichtigt wird.  Der neue
Durchfluss berechnet sich danach wie folgt:

\begin{center}
\begin{eqnarray*}
	LAF(GID) & = & \frac{Q_{reg}(GID)}{Q_{meas}(GID)} \\
	Q_{adj}(SID) & = & 
		\frac{d_d}{d_d + d_u} \frac{Q_{reg}(SID)}{LAF(nGIDu)}
		+ \frac{d_u}{d_d + d_u} \frac{Q_{reg}(SID)}{LAF(nGIDd)}
\end{eqnarray*}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
	GID &=& \mbox{Pegelmessstelle}\\
	SID &=& \mbox{StretchID}\\
	nGIDu &=& \mbox{nächster flussaufwärts gelegener Pegel}\\
	nGIDd &=& \mbox{nächster flussabwärts gelegener Pegel}\\
	Q_{reg} &=& \mbox{Abfluss (ermittelt durch Regression)}\\
	Q_{meas} &=& \mbox{gemessener Abfluss}\\
	Q_{adj} &=& \mbox{lokal angepasster Abfluss}\\
	d_d & = & \mbox{Entfernung des Stretchs vom nächsten flussaufwärts
	gelegenen Pegel}\\
	d_u & = & \mbox{Entfernung des Stretchs vom nächsten flussabwärts
	gelegenen Pegel}
\end{eqnarray*}

Für den Fall, dass nur ein nächster Pegel existiert (z.B. für
Quellabschnitte) wird nur der LAF dieses Pegels berücksichtigt:
\[
	Q_{adj}(SID) = \frac{Q_{reg}(SID)}{LAF(nGIDd)}
\]

\citet{schulze:01} stellt weiterhin ein Konzept vor, mit dem der jeweils
nächste Pegel flussaufwärts und -abwärts bestimmt werden kann. Flussabwärts
wandert man dazu so lange den Fluss hinunter bis man auf einen Pegel
trifft. Stößt man zwischenzeitlich auf eine Bifurkation, dann werden die
beiden nächstliegenden Pegel in den beiden Flussarmen gesucht. Aus deren
LAFs wird ein nach Entfernung gewichteter LAF für den
Bifurkationspunkt errechnet. Danach wird die Bifurkation als nächster Pegel
betrachtet.
Die gleiche Methode wird angewandt, um den nächsten flussaufwärts
liegenden Pegel zu berechnen. Statt Bifurkationen müssen hier die
Zusammenflüsse betrachtet werden. 

\paragraph{Bestimmung der Durchflüsse für das dynamische GREAT-ER}

Die Methode zur Bestimmung der Durchflüsse im klassischen GREAT-ER besteht
wie oben beschrieben aus zwei Schritten:
\begin{enumerate}
\item Bestimmung der Durchflüsse über den Ansatz der akkumulierten
Flusslänge.
\item Anpassung dieser Durchflüsse über den LAF-Ansatz. Der LAF ist dabei
das Verhältnis zwischen einem Messwert an einem Pegel und dem
Regressionswert.
\end{enumerate}

Für die Bestimmung der Durchflüsse für das dynamische GREAT-ER wird der
Vorschlag gemacht, diesen zweistufigen Ansatz im Prinzip beizubehalten.
Die Pegelmesswerte werden dabei durch die Ergebnisse aus einem 
dynamischen NA-Modell ersetzt.
Daraus resultiert eine Zeitreihe
mit Durchflüssen, die in einer zeitlichen Auflösung vorliegen, wie sie vom
dynamischen NA-Modell vorgegeben ist. Diese zeitliche Auflösung ist in der
Regel zu grob und muss daher noch verfeinert werden (s. Abschnitt
\ref{sec:zeit}).
\\

Zum Schluss sei noch angemerkt, dass \cite{schroeder:02} 
darauf hinweist, dass die Annahme, ein Pegel sei für ein u.U. recht
großes Teileinzugsgebiet repräsentativ, problematisch ist. Die Gründe
hierfür sind vielfältig. Ein wichtiger Aspekt ist hierbei der
hydrogeologische Untergrund innerhalb des Teileinzugsgebiet. Hierdurch
können starke lokale Schwankungen innerhalb eines Teileinzugsgebiets
auftreten. Für die Elbe bedeutet dies mit einer Anzahl von 130
Teileinzugsgebieten für HBV und damit 130 Korrekturwerten für das gesamte
Elbe-Einzugsgebiet u.U. eine zusätzliche Fehlerquelle.
Andererseits bleibt keine andere Möglichkeit, als die Durchflüsse zwischen
den Datenpunkten in irgendeiner Form in Abhängigkeit von den Datenpunkten
zu bestimmen. Die Kritikpunkt, die \citet{schroeder:02} in Bezug auf den
LAF-Ansatz äußert, lassen sich im Prinzip auf jede andere Methode (wie z.B.
eine lineare oder anders geartete Interpolation zwischen zwei Pegeln)
anwenden.  

\section{Zeitliche Auflösung}
\label{sec:zeit}

Die durchschnittliche Länge eines Stretches liegt bei ca.  2
km, die Fließgeschwindigkeit bei etwa 1 m/s. Damit ergibt sich eine
Durchflusszeit von ca. 30 min. Selbst bei einer Verdopplung oder gar
Vervierfachung der Stretchlänge würde sich die Durchflusszeit nur auf ca. 1
bis 2h erhöhen.  Dies ist in etwa die zeitliche Auflösung, in der die
Eingangsdaten vorliegen müssen.
\\

Weder die Einträge eines Stoffes noch die hydrologischen Parameter werden
in der Regel so hoch aufgelöst vorhanden sein: Die zeitliche Auflösung des
Durchflusses hängt vor allem von der Auflösung ab, in der das zugehörige
NA-Modell die Ergebnisse liefert (vgl. auch Abschnitt
\ref{sec:durchfluss}).  Diffuse Einträge in GREAT-ER werden wie oben
beschrieben zur Zeit über das Modell Moneris bestimmt, das langjährige
Mittelwerte für diffuse Einträge liefert.  Der Pro-Kopf-Verbrauch und der
Input durch industrielle Einleiter, die die Dynamik der punktuellen
Einleiter bestimmen, werden nicht über ein Modell bestimmt. Ihre Auflösung
ist vor allem von der Datenlage der Parameter abhängig.
\\

Liegen die Werte nicht in der notwendigen zeitlichen Auflösung vor, gibt es
die Möglichkeiten die Werte für die dazwischen liegenden Zeitpunkte
\begin{itemize}
\item als konstant über den gesamten Zeitabschnitt anzunehmen oder
\item den Wert (linear) aus den beiden umgebenen Werten zu interpolieren.
\end{itemize}

Dies entspricht den beiden vorgeschlagenen Alternativen zur Ermittlung des
Stoffflusses an konkreten Zeitpunkten (vgl. Abschnitt
\ref{subsec:diskretisierung}).  Aus Gründen der Konsistenz sollte in beiden
Fällen das gleiche Verfahren angewandt werden.  Die Auswirkungen der beiden
Ansätze sollten im Rahmen einer Dynamisierung von GREAT-ER realisiert und
analysiert werden.

\subsection{Zusätzlicher Eintrag durch Einzelereignisse}

Interessant wird eine Dynamisierung von GREAT-ER dadurch, dass
Einzelereignisse simuliert werden können. Dazu können die Einträge, die
über den deterministischen Ansatz (also Bevölkerung mit Pro-Kopf-Verbrauch für
punktuelle Einleiter und Moneris für die diffusen Einträge) gebildet
werden, als eine Art
Hintergrundbelastung betrachtet werden.  Die Ereignis bezogenen Einträge
können dann als zusätzliche Einträge zu einem gegebenen Zeitpunkt oder
innerhalb eines Zeitintervalls auf diese Hintergrundbelastungen addiert
werden. 
\\

Damit lassen sich die Einträge über lokale Starkregenereignisse gut
abbilden, während sie in Moneris durch die Einteilung des
Flusseinzugsgebiets in recht große Teileinzugsgebiete nicht berücksichtigt
würden. Ebenso lassen sich dadurch zeitlich begrenzte zusätzliche
punktuelle Einleitungen (z.B. durch einen Chemieunfall) erfassen.
Letztendlich wird die Dynamik der Einträge im wesentlichen durch diese
zusätzlichen Einträge bestimmt.

\subsection{Zusätzlicher Durchfluss durch Einzelereignisse}

Wie bereits im Abschnitt \ref{subsec:stoffeintraege} erwähnt, erfolgen
Ereignis bezogene Einträge in den Fluss oft lokal begrenzt auf einem
relativ kleinen Teileinzugsgebiet. Gleichzeitig machen sich solche
Ereignisse durch einen zusätzlichen Abfluss innerhalb dieses
Teileinzugsgebiets für einen beschränkten Zeitraum bemerkbar. Diese
zusätzlichen Abflüsse fließen als zusätzliche Durchflüsse den Fluss
hinunter. Da die meisten auf große Flusseinzugsgebiete anwendbaren
NA-Modelle auf Basis von recht großen Teileinzugsgebieten rechnen, tauchen
diese Durchflüsse aber nicht mehr in den Ergebnissen auf.
\\

Zur Lösung dieses Problems wird vorgeschlagen, für einen Ereignis bezogenen
zusätzlichen Durchfluss losgelöst vom NA-Modell zu bestimmen, zu welchem
Zeitpunkt er welchem Flussabschnitt zugerechnet werden muss. Zu diesem
Zweck kann das  in Abschnitt \ref{subsec:diskretisierung} vorgeschlagene
Transportmodell angewandt werden. Der einzige Unterschied zwischen dem
Transport von Wasser und Schadstoff besteht darin, dass für das Wasser
keine Eliminationsprozesse im Flussabschnitt stattfinden.
\\

Nach den Berechnungen können die zusätzlichen Durchflüssen zu den  durch das
NA-Modell berechneten Durchflüssen addiert werden. Der resultierende
Durchfluss wird dann zusammen mit dem entsprechenden Stofffluss durch den
Stretch als Grundlage für die Berechnung der Stoffkonzentration im
Flussabschnitt verwendet.

\section{Zusammenfassung}

Weder in Bezug auf die zeitliche noch auf die räumliche Komponente kann
davon ausgegangen werden, dass die notwendigen Daten in der notwendigen
Auflösung vorliegen. Für die zeitliche Auflösung lassen sich die notwendigen
Daten mit folgendem Ansatz bestimmen:

\begin{enumerate}
\item Die Parameter werden für unbestimmte Zeitpunkte aus der vorhandenen
Zeitreihe abgeschätzt.
\item Einzelereignisse werden sowohl in Bezug auf die Stoffeinträge als
auch in Bezug auf den Durchfluss zu den vorhanden Werten addiert.
Die Bestimmung eines
Parameters zum Zeitpunkt $t_x$ erfolgt dann aus der Addition der
Grundwertes und des zusätzlichen Wertes durch das Einzelereignis:
\[
	P(t_x) = P_{basis}(t_x) + P_{add}(t_x)
\]
\begin{eqnarray*}
	P &=& \mbox{betrachteter Parameter}\\
	P_{basis} &=& \mbox{Parameter für die Belastung ohne Einzelereignis}\\
	P_{add} &=& \mbox{Parameter für Einzelereignis}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

Zur Reduzierung der Datenhaltung kann darauf verzichtet werden, die Daten
für jeden Zeitschritt vorzuhalten. Statt dessen werden die dynamischen
Eingabeparameter in der zeitlichen Auflösung gespeichert, in der sich
ursprünglich vorliegen. Die Daten für die Einzelereignisse werden dann in
zusätzlichen Tabellen erfasst, in denen die Parameterwerte und der
Zeitpunkt des Einzelereignisses erfasst werden. 
\\

Für die räumliche Auflösung wird folgender Ansatz zur Schließung der
Datenlücken angewandt:
\begin{enumerate}
\item Punktuelle Einleiter liegen in der notwendigen Auflösung vor.
\item Diffuse Einträge eines größeren Teileinzugsgebiet werden auf alle
Flussabschnitte des Teileinzugsgebiets aufgeteilt, wobei nach der Länge
der Stretches gewichtet wird.
\item Für den Durchfluss wird eine Kombination aus dem Ansatz der
akkumulierten Flusslänge und des LAF-Ansatzes gewählt.
\end{enumerate}

\renewcommand{\documentID}{\CVSId}

%%%% Literatur %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis}    % in den Inhalt
\bibliographystyle{literatur/gernatbib}
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\begin{appendix}

\include{gnufdl}

\end{appendix}

\label{theverylastpage}
\end{document}


