% $Id: great-er_dynamic_concept.tex,v 1.2 2003-08-12 13:02:05 frank Exp $
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% MACRO DEFINITION
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%   \Fig{figure}{text}  : creates an mbox around 'figure' and
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%                         'Fig. section.figno:'.
%                         Example:
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%   \FigNoEntry{}{}     : same as above, no entry in figures list
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%   \FigCaption{}       : line with figure caption, setting figure
%                         counter and figures list
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\begin{center}
Copyright (c) 2003 Silke Reimer, $<$Silke.Reimer@intevation.de$>$.
\end{center}

\tableofcontents

\chapter{Einleitung}

Ziel dieses Dokumentes ist es, ein Konzept vorzuschlagen, mit dem GREAT-ER
dynamisiert werden kann. GREAT-ER ist ein Modellierungstool zur Simulation
von Schadstoffausbreitung in Fließgewässernetzen. In seiner aktuellen Form
ermittelt GREAT-ER die Konzentrationen, die sich im Fließgleichgewicht für
bestimmte Einleitungen und Durchflüsse
ergeben. Damit lassen sich Fragen nach der durchschnittlichen Belastungen
im langjährigen Mittel beantworten.

Eine Dynamisierung von GREAT-ER soll dazu führen, dass untersucht werden
kann, welche 
kurzfristigen Belastungen sich z.B. durch Starkregenereignisse oder den Lauf der
Jahreszeiten ergeben.
\\

Innerhalb dieses Dokuments wird ein theoretisches Konzept entwickelt,
dass die Umsetzung einer Dynamisierung ermöglicht. Daneben wird die
Datenlage für die relevanten Eingangsdaten betrachtet und untersucht,
welche Auswirkung sie auf die Anwendbarkeit des theoretischen Konzeptes
hat.
\\

In GREAT-ER wird getrennt zwischen der Hydrologie des
Fließgewässernetzes und dem Stofftransport und -abbau innerhalb des
Flussnetzes. Dies spiegelt sich auch in der Gliederung des Dokumentes
wider. Ich beginne mit der Behandlung der
hydrologischen Parameter. Dabei gehe ich nur auf die Parameter
ein, die als dynamisch zu betrachten sind. Die anderen Paramter
werden als konstant angenommen und können daher aus der klassischen
Parametrisierung eines GREAT-ER Flusseinzugsgebietes übernommen werden.
\\

Das Konzept von GREAT-ER sieht eine Einteilung des gesamten Flussnetzes in
relativ kleine Flussabschnitte vor. In der englischen Variante werden die
Flussabschnitte Stretches genannt. Diese Bezeichnung hat sich inzwischen
eingebürgert, wenn von GREAT-ER die Rede ist. Ich werde daher die beiden
Begriffe Flussabschnitt und Stretch synonym verwenden.


\chapter{Hydrologie}
\label{chap:hydrologie}

Es gibt drei dynamische hydrologische Parameter, die in GREAT-ER in die
Berechnung der Schadstoffkonzentrationen Eingang finden. Dies ist zunächst
der Durchfluss: Aus dem Verhältnis der von GREAT-ER berechneten Stoffflüsse
innerhalb eines Stretches und den Durchflüssen werden die Konzentration
berechnet.  Die beiden anderen Parameter, nämlich Fließgeschwindigkeit und
Flusstiefe, werden direkt für die Berechnung der Elimination eines
Stoffflusses in einem Flussabschnitt benötigt: Die Fließgeschwindigkeit
bestimmt die Verweildauer eines Stoffes in einem Stretch. Die Flusstiefe
wird im Modellmodus 3 benötigt, wenn die Prozesse für photolytischen Abbau
und Volatilisierung detaillierter betrachtet werden.
\\

Mangels einer besseren Datengrundlage sind bei bei der Integration von
neuen Flusseinzugsgebieten, u.a. auch der Elbe, oftmals Regressionen
angewandt worden, um Flusstiefe und Fließgeschwindigkeit aus dem Durchfluss
zu bestimmen (siehe etwa \citet{schroeder:02}). Für eine korrekte
Bestimmung der Flusstiefe und der Fließgeschwindigkeit wären ein
prozessorientiertes hydrologisches Modell des Flusses notwendig, das unter
anderem die Morphologie des Flussbettes berücksichtigt. Solche Modelle
liegen theoretisch vor. Die konkrete Kalibrierung der Modelle für ein
Flusseinzugsgebiet ist allerdings sehr aufwändig oder - angesichts der
benötigten Daten - oftmals unmöglich.  
\\

Innerhalb dieses Dokumentes wird auf die Berechnung von Flusstiefe und
Fließgeschwindigkeit nicht weiter eingegangen.  Es wird lediglich
vorgeschlagen, ein externes hydrologisches Modell zur Bestimmung der
Flusstiefe und Fließgeschwindigkeit zu verwenden, wenn es vorliegt, und
ansonsten auf die von \citet{schroeder:02} genannten Regressionsformeln
zurück zu greifen.  Gegenstand dieses Kapitels soll die Behandlungg des
Durchflusses unter dem Gesichtspunkte der Datenlage und der Interpolation
von Durchflüssen für Flussabschnitte, für die keine anderen Werte
vorliegen, sein.


\section{Durchfluss}
\label{sec:durchfluss}

Innerhalb des GREAT-ER Konzeptes werden Hydrologie und Stofffluss so lange
als zwei getrennte Bereiche betrachtet, bis alle Abbauprozesse betrachtet
worden sind und aus den Stofffrachten und den Durchflüssen
Konzentrationen berechnet werden. Die Durchflüsse werden dabei nicht
von GREAT-ER selbst berechnet, sondern schon vor den eigentlichen
Berechnungen in die Datenbasis integriert.

Grundlage für die Bestimmung der Durchflüsse an vorgegebenen Stellen eines
Flusses sind Niederschlags-Abluss-Modelle (NA-Modelle). Sie ermitteln aus
Niederschlagsdaten in Kombination mit verschiedenen Informationen über
Bodenbeschaffenheit, Neigung des Geländes etc. den Basis-, Zwischen- und
Oberflächenabfluss eines Teileinzugsgebietes im Flusseinzugsgebiet.

Prinzipiell gibt es zwei Optionen für eine Kopplung eines dynamischen
GREAT-ER mit einem NA-Modell:

\begin{enumerate}
\item Das NA-Modell liefert für jeden Stretch von GREAT-ER einen Abfluss-
und damit den benötigten Durchflusswert in der notwendigen zeitlichen
Auflösung. Möglich ist dies z.B. durch ein
Modell wie LISFLOOD. LISFLOOD berechnet rasterbasiert den Abfluss an vom
Benutzer bestimmten Punkten des Fließgewässernetzes (siehe etwa
\citet{roo:98}). Dies können dann natürlich die jeweiligen Anfangs- oder
Endpunkte eines Stretches sein.  Allerdings benötigt ein solches
rasterbasiertes Modell zum einen recht fein aufgelöste Informationen über
alle benötigen Parameter. Zum anderen ist LISFLOOD zur Zeit nur für wenige
Einzugsgebiete kalibriert. Das Einzugsgebiet der Elbe fällt nicht darunter. 

Bei einer Kalibrierung eines rasterbasieren NA-Modells zur Berechnung von
Durch\-fluss\-wer\-ten für Flussabschnitte muss natürlich beachtet werden,
dass die Rasterzellen mit den Punkten übereinstimmen, an denen
Durchflusswerte notwendig sind. Dies könnte u.U. durch eine große
Rasterweite des NA-Modells und vorgegebene Segmentierungspunkte von
Flussabschnitten an Zuflüssen von punktuellen Einleitern erschwert werden.

\item Das NA-Modell liefert nur für einige Stretches einen Abfluss- bzw.
Durchflusswert. Dies ist z.B. für das Modell HBV der Fall. HBV berechnet
gemittelt über einige Teileinzugsgebiete den Abfluss jeweils dieses
Teileinzugsgebietes (s. etwa \citet{bergstroem:95}). Am Ende der Erstellung
der Pilotversion des Elbe-DSS wird HBV für ca. 130 Teileinzugsgebiete
kalibriert sein. Für alle Stretches, die dazwischen liegen müssen die
Durchflusswerte interpoliert werden.
\end{enumerate}

\subsection{Interpolation zwischen zwei gegebenen Durchflüssen}
\label{subsec:interpolation}

Liegt ein NA-Modell vor wie im ersten Fall beschrieben, braucht man sich um
die Durchflüsse nicht weiter zu kümmern. Sie liegen dann in der gewünschten
räumlichen Genauigkeit vor. Im zweiten Fall müssen die Durchflüsse zwischen
den vorhandenen Werten interpoliert werden. 

Dabei tritt das Problem auf, dass man keine weiteren Informationen
darüber hat, wieviel Abfluss seitwärts in die Stretches einfließt. Es wird
daher der Vorschlag gemacht, die Werte linear in Abhängigkeit von der
Entfernung zwischen zwei Messpunkten zu interpolieren. Liegen zwei
Messpunkte mit den Durchflüssen $Q_A$ und $Q_B$ $l$ km auseinander, dann
beträgt der Durchfluss an der Stelle $C$, $\bar{l}$ km von A entfernt
demnach\\

\begin{center}
\fbox{\parbox{7cm}{
\begin{eqnarray}
	Q_C = Q_A + \frac{\bar{l}}{l} (Q_B - Q_A)
	\label{eqn:linear}
\end{eqnarray}}}
\end{center}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{graphics/stretches.eps}
\caption{Lage von drei Messstellen sowie des Zusammenflusspunktes $X$
zueinander und die Entfernungen zwischen den vier relevanten Punkten. \label{fig:stretches}}
\end{center}
\end{figure}

Etwas komplizierter wird es, wenn ein Zusammenfluss an der Stelle $X$
zwischen A und B liegt (siehe Abbildung \ref{fig:stretches}).  Dann muss der Durchfluss an der Stelle X wie folgt
berechnet werden:
\begin{eqnarray*}
	Q_X & = & Q_A + \frac{l_1}{l_1 + l_3} (Q_{C_A} - Q_A)\\
	Q_X & = & Q_B + \frac{l_2}{l_2 + l_3} (Q_{C_B} - Q_B)\\
\end{eqnarray*}
Dabei sind $Q_{C_A}$ und $Q_{C_B}$ definiert als die jeweiligen Anteile
von $Q_C$ die $A$ bzw. $B$ zugesprochen werden. Es ergibt sich daher als
weitere Formel:
\[
	Q_C  =  Q_{C_A} + Q_{C_B}
\]
Die drei Formeln lassen sich zusammenfassen zu
\begin{eqnarray}
	Q_X & = & Q_A + \frac{l_1}{l_1 + l_3} (Q_C - Q_{C_B} - Q_A)\\
\label{eqn:Q_X}    & = & Q_B + \frac{l_2}{l_2 + l_3} (Q_{C_B} - Q_B)
\end{eqnarray}
Die letzten beiden Zeilen ergeben kombiniert folgende Berechnung:
\begin{eqnarray*}
	Q_B + \frac{l_2}{l_2 + l_3} (Q_{C_B} - Q_B)
	& = &
	Q_A + \frac{l_1}{l_1 + l_3} (Q_C - Q_{C_B} - Q_A)\\
	(\frac{l_2}{l_2 + l_3} + \frac{l_1}{l_1 + l_3}) Q_{C_B}
	& = &
	Q_A - Q_B + \frac{l_1}{l_1 + l_3} (Q_C - Q_A) + \frac{l_2}{l_2 + l_3} Q_B\\
	(\frac{l_2}{l_2 + l_3} + \frac{l_1}{l_1 + l_3}) Q_{C_B}
	& = &
	\frac{l_1}{l_1 + l_3} Q_C 
		+ (1 - \frac{l_1}{l_1 + l_3}) Q_A 
		- (1 - \frac{l_2}{l_2 + l_3}) Q_B 
\end{eqnarray*}
\\

Mit
\[
	L_1 = \frac{l_1}{l_1 + l_3}
\]
und
\[
	L_2 = \frac{l_2}{l_2 + l_3}
\]
ergibt sich daraus:
\begin{eqnarray*}
	Q_{C_B} & = &
	\frac{L_1 Q_C 
		+ (1 - L_1) Q_A 
		- (1 - L_2) Q_B}{L_1 + L_2}
\end{eqnarray*}
\\

Eingesetzt in Formel \ref{eqn:Q_X} ergibt sich schließlich folgendes Ergebnis:
\begin{eqnarray*}
	Q_X & = & Q_B + L_2 (Q_{C_B} - Q_B)\\
		& = & 
			Q_B 
			+ L_2(\frac{L_1 Q_C + (1 - L_1) Q_A - (1 - L_2)Q_B}{L_1 + L_2})
			- L_2 Q_B\\
\mbox{multipliziert mit $(L_1 + L_2)$}&&\\
	(L_1 + L_2) Q_X  & = & (L_1 + L_2) Q_B\\ 
					 &   & + L_1 L_2 Q_C + (1 - L_1) L_2 Q_A - (1 - L_2) L_2 Q_B\\
					 &   & - L_2 (L_1 + L_2) Q_B\\
					 & = & L_1 Q_B + L_2 Q_B \\
					 &   & + L_1 L_2 Q_C + L_2 Q_A - L_1 L_2 Q_A - L_2 Q_B + L_2 L_2 Q_B \\
					 &   & - L_2 L_2 Q_B - L_1 L_2 Q_B\\
					 & = & L_1 Q_B + L_2 Q_A + L_1 L_2 (Q_C - Q_A -Q_B)\\
\end{eqnarray*}
Und schließlich noch einmal dividiert durch $(L_1 + L_2)$:
\begin{center}
\fbox{\parbox{10cm}{
\begin{eqnarray}
	\label{eqn:result_Q_X}
	Q_X = \frac{L_1 Q_B + L_2 Q_A}{L_1 + L_2} 
			+ \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}(Q_C - Q_A - Q_B)
\end{eqnarray}}}
\end{center}

Die Formel \ref{eqn:result_Q_X} zeigt, dass der Durchfluss am Punkt des
Zusammenflusses sowohl von den Durchflüssen an den Stellen $A$ und $B$ als
auch an $C$ abhängt. Gleichzeitig findet eine Gewichtung nach der
Entfernung der einzelnen Punkte von $X$ statt. Für ein besseres Verständnis
der Formel sollen zwei Spezialfälle durchgerechnet und interpretiert
werden:
\begin{description}
\item[\boldmath$Q_B = 0$\unboldmath] die Formel reduziert sich dann auf 
\[ Q_X = \frac{L_2 Q_A}{L_1 + L_2} + + \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}(Q_C - Q_A)\]
Damit ähnelt sie sehr der Formel \ref{eqn:linear} mit dem Unterschied, dass
die Entfernung des Punktes $B$ von $X$ und damit die Abflüsse entlang des
entsprechenden Flusslaufes in die Berechnung einfließt.
\item[\boldmath$l_2 = 0$\unboldmath], d.h. dass $B$ identisch ist mit $X$.
Mit $l_2 = 0$ ist auch $L_2 = 0 $. Damit reduziert sich die Formel
\ref{eqn:result_Q_X} auf 
\begin{eqnarray*}
Q_X & = & \frac{L_1 Q_B}{L_1} + \frac{0  L_2}{L_2}(Q_C - Q_A - Q_B)\\
    & = & Q_B
\end{eqnarray*}
Der Durchfluss an der Stelle $X$ wird in diesem Fall also korrekt
berechnet.
\end{description}


Damit lässt sich der Durchfluss am Punkt des Zusammenflusses berechnen. Ist
dieser Durchfluss erst einmal bekannt, ist es über eine einfache
Linearisierung nach Formel \ref{eqn:linear} möglich, alle Durchflüsse an den
Zwischenpunkten zu berechnen.

\subsection{Datenlage für Quellabschnitte}

Theoretisch lässt sich das Konzept der linearen Interpolation zwischen zwei
vorhandenen Datenpunkten übertragen auf die Interpolation zwischen einem
Quellabschnitt\footnote{Mit einem Quellabschnitt ist ein Flussabschnitt
gemeint, für den es keinen flussaufwärts liegenden Flussabschnitt gibt.}
und einem berechneten Datenpunkt. Problematisch ist allerdings, dass
meistens keine Durchflüsse für die Quellabschnitte bekannt
sind. Es müssen daher Methoden gefunden werden, die die Bestimmung des
Durchfluses durch jeden Quellabschnitt ermöglichen.

%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=10cm]{graphics/moneris_results.eps}
%\caption{Test \label{fig:quellen}}
%\end{center}
%\end{figure}

Zur Lösung dieses Problems lohnt es, sich anzuschauen, wie die Durchflüsse
bei der Kalibrierung eines neuen Flussnetzes für GREAT-ER in der Regel
ermittelt werden. \cite{schroeder:02} schreibt dazu sinngemäß folgendes
in seinem Bericht:
\\

Für kleine Flusseinzugsgebiete in England wurde das prozessbasierte Modell
"`MicroLowFlows"' angewandt. Für große Flusseinzugsgebiete ist dieser
Ansatz nicht praktikabel, weil das Modell zum Teil hochaufgelöste Daten für
das gesamte Einzugsgebiete benötigt. In der Regel sind die Daten nicht in
dieser hohen Auflösung vorhanden oder die Beschaffung mit hohen Kosten
verbunden.

Mit Hilfe eines häufig verwendeten pragmatischen Ansatzes werden daher die
Durchflüsse über eine Regression in Abhängigkeit von der akkumulierten
Länge aller Flussabschnitte bis zum betrachteten Punkt ermittelt. Dieser
statistische Ansatz bringt naturgemäß Fehler mit sich. \citet{schroeder:02}
stellt in seiner Arbeit fest, dass dieser Fehler insbesondere für
Flussabschnitte mit kleinen Durchflüssen (also in der Nähe der Quellen)
besonders gravierend ist. \citet{schulze:01} 
schlägt in seiner Arbeit daher vor, den Fehler an einem Messpunkt als
charakteristisch für die umliegenden Flussabschnitte zu betrachten und die
umliegenden Werte entsprechend zu korrigieren (für eine genauere
Beschreibung dieses Ansatz siehe dort). 

\cite{schroeder:02} weist
allerdings darauf hin, dass die Annahme, dass ein Pegel für ein u.U. recht
großes Teileinzugsgebiet repräsentativ ist, problematisch ist. Der Gründe
hierfür sind vielfältig. Ein wichtiger Aspekt ist hierbei der
hydrogeologische Untergrund innerhalb des
Teileinzugsgebiet. Hierdurch können starke lokale Schwankungen innerhalb
eines Teileinzugsgebietes auftreten. \citet{schroeder:02} verwirft daher
den Ansatz der lokalen Anpassungen nach \citet{schulze:01}.
\\

Es gibt nun mindestens zwei Ansätze zur Bestimmung der
Durchflüsse zwischen Quellabschnitten und bekannten Datenpunkten:
\begin{enumerate}
\item Die Durchflüsse der Quellabschnitte werden konsequent über den Ansatz
der akkumulierten Flusslänge bestimmt. Die Durchflüsse für die zwischen
einem Quellabschnitt und einem bekannten Datenpunkt liegenden
Flussabschnitte werden wie in Abschnitt \ref{subsec:interpolation}
beschrieben linear interpoliert.
\item Für bekannte Datenpunkte wird das Verhältnis zwischen dem Durchfluss
aus der Zeitreihe und dem aus der akkumulierten Flusslänge bestimmten
Durchfluss bestimmt. Dieses Verhältnis wird verwendet, um wie in
\citet{schulze:01} beschrieben die Durchflüsse aus der akkumulierten
Flusslänge für alle flussaufwärts liegenden Flussabschnitte bis zu den
Quellabschnitten anzupassen.
\end{enumerate}

Welcher dieser beiden Ansätzen bessere Ergebnisse liefert, kann an dieser
Stelle nicht so ohne weiteres bestimmt werden. Wie weiter oben ausgeführt
gibt es zwei verschiedene Fehlerquellen: den Fehler durch die 
Regression und den Fehler durch die Annahme, dass der Durchfluss eines
Pegels repräsentativ für ein gesamtes Teileinzugsgebiet ist. Wenn der
Regressionsfehler als größer angesehen wird, dann sollte der Ansatz mit der
lokalen Anpassung (zweiter Ansatz) zur
Bestimmung der fehlenden Durchflüsse verwendet werden, anderfalls sollte
die lokale Anpassung entfallen.
Wie sich die beiden Fehlerquellen relativ zu einander verhalten,
kann nur für ein konkretes Einzugsgebiet bestimmt werden. Die Beantwortung
dieser Frage wird daher an dieser Stelle nicht geleistet.

\section{Zeitliche Auflösung}
Für die Wahl der Simulationsschrittweite gilt es zu beachten, dass die
zeitliche Auflösung der Durchflusswerte nur so gut sein kann, wie die des
NA-Abflussmodells und der
Eingangsdaten in selbiges. HBV kann Ergebnisse in einer zeitlichen
Auflösung von wenigen Stunden liefern. Allerdings ist fraglich, ob die
Niederschlagswerte in einer so feinen Auflösung zu bekommen sind.

\chapter{Stofffrachten}
\label{chap:stofffrachten}

Die eigentlichen Berechnungen von GREAT-ER beziehen sich auf die
Frachten eines bestimmten Stoffes.
Prinzipiell gibt es drei verschiedene
Inputquellen in einen Flussabschnitt, die im folgenden der Reihe nach
besprochen werden sollen:

\begin{itemize}
\item Punktuelle Einleiter
\item Diffuse Quellen
\item Flussaufwärts liegende Stretches
\end{itemize}

\section{Punktuelle Einleiter}
\label{sec:punktquellen}

Die Integration punktueller Einleiter ist theoretisch gesehen relativ
einfach. Voraussetzung ist, dass an punktuellen Einleiterstellen die Daten
in einer zeitlichen Auflösung vorliegen, wie sie den
Berechnungszeitschritten entspricht. Ob dies in der Praxis zum Problem
wird, hängt in starkem Maße von der Zeitschrittweite sowie vom betrachteten
Stoff ab. Bei Waschmittelchemikalien kann man z.B. in der
Regel davon ausgehen, dass der Jahresverbrauch sich relativ gleichmäßig
über das gesamte Jahr verteilt. Bei einer zeitlichen Auflösung von Tagen
hat man dann zwar keine Dynamik in den Einträgen, aber in jedem Falle einen
Wert pro Zeitschritt vorliegen. Sollen allerdings die Werte in einer feineren
zeitlichen Auflösung vorliegen, dann muss man sich Gedanken darüber machen,
wie sich der Waschmittelverbrauch über einen Tag verteilt. Ähnliche
Überlegungen gelten für alle anderen Stoffe auch.

\section{Diffuse Quellen}
\label{sec:diffquellen}

Theoretisch erfolgt die Integration diffuser Quellen in ein dynamisches
GREAT-ER wie bei punktuellen Einleitern: für jeden Zeitschritt muss ein
Eingabewert vorliegen. Werden die diffusen Einträge für größere
Teileinzugsgebiete berechnet, dann werden die Gesamteinträge auf einzelne
Flussabschnitte aufgeteilt wie im Endbericht zur Phase 1 in der Integration
von GREAT-ER in das DSS 
beschrieben \citep{reimer:02}.
\\

Stärker als bei punktuellen Einleitern tritt bei diffusen Quellen
allerdings das Problem der Datenverfügbarkeit auf. Moneris, welches bisher
zur Berechnung der diffusen Einträge verwendet wird, rechnet auf der Basis
von langjährigen Statistiken. Es müsste daher ein anderes Modell als
Datenquelle verwendet werden. Darüber hinaus ist der tatsächliche Stoff\-eintrag
aus diffusen Quellen in starkem Maße davon abhängig, wann eine bestimmte
Maßnahme durchgeführt wird. Z.B. ist für den Eintrag von Nitrat und
Phosphat nicht nur relevant, wieviel Nährstoffe durch die Landwirtschaft
ausgebracht werden, sondern auch ob  die Ausbringung kurz vor oder nach
einem lokalen Starkregenereignis  stattfand. Insgesamt ist damit zu
rechnen, dass die zeitliche Auflösung der Daten eher bei Monaten als bei
Wochen oder gar Tagen liegen wird.

\section{Flussaufwärts liegende Flussabschnitte}
\label{sec:upstream}

Auch der Input aus den flussaufwärts liegenden Flussabschnitten muss als
Zeitreihe für jeden betrachteten Zeitschritt vorliegen. Dies lässt sich
prinzipiell dadurch lösen, dass man zunächst für die Quellabschnitte die
gesamte Zeitreihe berechnet. Dies ist deshalb möglich, weil die Stoffflüsse
in 
Quellabschnitten nicht von den Stoffflüssen in flussabwärts liegenden
Stretchen abhängen. Danach geht man schrittweise bis zu Mündung vor, 
wobei für jeden Stretch die gesamte Zeitreihe berechnet wird, bevor man
einen Stretch weiter wandert. Die Zeitreihen der jeweils direkt flussaufwärts
liegenden Stretche dienen als Input in den aktuellen Flussabschnitt.
\\

Ein Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass die Flussabschnitte eine
feste Länge haben, sich die Durchflusszeit aber nicht zwangsläufig mit
der Schrittweite der dynmischen Berechnung deckt. Folgende Argumentation
soll die Problematik ein wenig verdeutlichen:

Betrachtet werden zwei Flussabschnitte $A$ und $B$, wobei der Output aus
$A$ den Input in $B$ darstellt.  Es gibt keine diffusen oder punktuellen
Einleitungen an den beiden Flussabschnitten. Betrachtet werden die beiden
Zeitpunkte $t_0$ und $t_1$ mit $\Delta t = t_1 - t_0$.  Zum Zeitpunkt $t_0$
beträgt der Stofffluss zu Beginn des Stretches $A$ $\Phi_{start_A}(t_0)$.
Die Durchflusszeit durch $A$ beträgt $\bar{t} <> \Delta t$. Damit liegt
nach einer Simulation für den Stretch $A$ der Stofffluss am Ende des
Stretches $\Phi_{end_A}(t_0 + \bar{t})$ vor, der aber nicht deckungsgleich
ist mit dem Wert $\Phi_{start_B}(t_1) = \Phi_{start_B}(t_0 + \Delta t)$ der
als Anfangswert für die Berchnungen im Stretch $B$ zum Zeitpunkt $t_1$
benötigt wird.
\\

Folgendes wird zur Lösung dieses Problems vorgeschlagen:
Es wird zunächst die komplette Zeitreihe für den Flussabschnitt $A$
berechnet. Für die Berchnungen des Flussabschnittes $B$ wird als Input
aus dieser Zeitreihe immer der Wert genommen, der dem
gewünschten Zeitpunkt zeitlich am nächsten liegt.

\section{Wahl der Zeitschritte}

Aus dem im letzten  Abschnitt vorgeschlagenen Ansatz ergeben sich einige Überlegungen für die Wahl des
Zeitschrittes. 
Es sollen zwei Fälle unterschieden werden. Soweit nicht anders angegeben
entspricht die Definition der Symbole den in Abschnitt \ref{sec:upstream}
verwendeten Definitionen.
\begin{enumerate}
\item Der Berechnungszeitschritt liegt in etwa bei der
Durchflusszeit durch einen Stretch, d.h. $\Delta t \approx \bar{t}$
\item Der Berechnungszeitschritt liegt deutlich über der durchschnittlichen
Durchflusszeit durch einen Stretch, d.h. $\Delta t \gg \bar{t}$ 
\end{enumerate}

\subsection{$\Delta t \approx \bar{t}$}
Dieser Fall stellt vom theoretischen Konzept her kein großes Problem
dar. Zwar ergibt sich ein leichter Fehler aus der Tatsache, dass die
Berechnungszeitpunkte nicht völlig deckungsgleich sind mit den
Durchflusszeiten. Es ist aber zu vermuten, dass dieser Fehler
vernachlässigbar gering ist. 
\\

Ein Problem ergibt sich bei dieser Schrittweite allerdings mit der
Datenbeschaffung. Die durchschnittliche Länge eines Stretches liegt bei ca.
2 km, die Fließgeschwindigkeit bei etwa 1 m/s. Damit ergibt sich eine
Durchflusszeit von ca. 30 min. Selbst bei einer Verdopplung oder gar
Vervierfachung der Stretchlänge würde sich die Durchflusszeit nur auf ca. 1 bis
2h erhöhen. Es ist wenig wahrscheinlich, dass so detaillierte
Informationen für diffuse oder punktuelle Einleitungen oder für Durchflüsse
für das gesamte Flussnetz vorliegen. Solange dies aber nicht der Fall ist,
machen dynamische Berechnungen mit einen solche detaillierten Zeitschritt
keinen Sinn.

\subsection{$\Delta t \gg \bar{t}$}
Wenn der Berechnungszeitschritt deutlich über der
Durchflusszeit durch einen Stretch liegt, ergibt sich ein Problem, das an
folgendem Fall erläutert werden soll:

Der Stretch $A$ liegt flussaufwärts
von Stretch $B$, aber so weit von $B$ entfernt, dass die Fließzeit von $A$
nach $B$ den Berechnungszeitschritt überschreitet. Soll der Stofffluss von
$B$ zum Zeitpunkt $t_1$ berechnet werden, dann muss daher implizit der
Stofffluss durch $A$ zum Zeitpunkt $t_0$ in die Berechnung einfließen.

Mit dem oben vorgeschlagenen Ansatz wird für die Berechnung allerdings der
Stofffluss durch $A$ zum Zeitpunkt $t_1$ berücksichtigt.  Dies liegt daran,
dass die Durchflusszeit $\bar{t}$ durch einen Stretch im Vergleich zur
Berechnungsschrittweite so gering ist, dass für alle Stretches zwischen $A$
und $B$ $t_1$ näher an ($t_1 + \bar{t}$) als an ($t_0 + \bar{t}$) liegt.
Damit wird bei der Berechnung von der Zeitreihen für die zwischen $A$ und
$B$ liegenden Stretches die Durchflusszeit $\bar{t}$ ignoriert.

Die Lösung des Problems liegt darin, die Berechnungsschrittweite so groß zu
wählen,  dass innerhalb eines Zeitschrittes das gesamte Flussnetzwerk
durchflossen wird. Dann nämlich ist es nicht mehr möglich, dass die
Fließzeit zwischen zwei Punkten den Simulationszeitschritt überschreitet.
Bei einer durchschnittlichen Fließgeschwindigkeit können innerhalb einer
Woche gut 600 km durchflossen werden. Dies reicht in der Regel auch für
relativ große Flusseinzugsgebiete aus. 

\section{Schlussfolgerungen}

Die vorangegangenen Überlegungen zeigen, dass zwei Möglichkeiten für die Wahl
des Zeitschritts existieren: Entweder ist die Schrittweite  so groß wie die
durchschnittliche Durchflusszeit durch einen Stretch\footnote{Es ist auch
denkbar, dass die durchschnittliche Durchflusszeit sich als ein Vielfaches
eines Simulationszeitschritts ausdrücken lässt. Allerdings verschärft sich
dann natürlcih das Problem der Datenverfügbarkeit.} oder die Schrittweite
ist größer als die Durchflusszeit durch das gesamte Einzugsgebiet. 

Genau genommen stellt nur die erste Alternative eine echte
Dynamisierung von GREAT-ER dar. Im zweiten Fall nämlich können die berechneten
Werte interpretiert werden als die Stoffflüsse, bzw. Konzentrationen, die
sich als Steady State für die Einleitungen und Durchflüsse des betrachteten
Zeitschrittes ergeben. Damit stellt eine Simulationen mit einem solch
großen Simulationzeitschritt streng genommen eine Aneinanderreihung von
mehreren klassischen GREAT-ER-Simulation dar.
\\

Die Datenlage stellt wie so oft das größte Problem dar. Es dürfte schwierig
sein, Daten für Durchflüsse und Stoffeinträge zeitlich so hoch aufgelöst zu
bekommen, dass echte dynamische Simulationen möglich sind. Obwohl dies vom
theoretischen Konzept her kein großes Problem darstellt, ist daher
fraglich, ob eine echte Dynamisierung von GREAT-ER erreicht werden kann. 


%%%% Literatur %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis}    % in den Inhalt
\bibliographystyle{literatur/gernatbib}
\bibliography{literatur/literatur}

\begin{appendix}

\include{gnufdl}

\end{appendix}

\end{document}


